Contoh Soal Simulasi MM1
Sistem dual band 900 MHz dan 1800 MHz
Inter arrival time terdistribusi eksponensial negatif. Service Time terdistribusi eksponensial negatif. Lamda = 2 dan myu = 3.
Buatlah simulasinya dan hasil probabilitas blocking (B terhadap N) untuk sistem di bawah ini
a) Jumlah server (N) di dalam sistem 1 = 1, 2, 3….10
Figure 1. Sistem untuk soal a
b) Jumlah server (N) di dalam sistem 1 dan sistem 2 berpasangan = (1,1), (2,2), (3,3),…(10,10)
Figure 2. Sistem untuk soal b
Distribusi Exponential Negatif
Untuk membuat distribusi exponential negatif, penulis menggunakan Simtools dari www.uchicago.edu. Fungsi yang digunakan adalah EXPOINV(probability, mean). Fungsi inilah yang digunakan untuk membuat angka-angka untuk Inter Arrival Time (IAT) pada kolom B dan Panjang Paket pada kolom C di file Simulasi.xlms.
Catatan : Dalam simulasi ini, panjang paket yang datang merepresentasikan Service Time (karena bukan sistem tunggu).
Inter-arrival time diasumsikan memiliki lama waktu dari 0 sampai 1 detik. Panjang paket juga demikian. Masing-masing dibuatkan angka-angka dengan penyebaran berdistribusi eksponensial negatif. Contoh gambar 3 di bawah ini adalah sebaran untuk salah satu sampel 1000 angka inter arrival time yang dibuat (di sini tidak ditampilkan ke seribu anga tersebut, hanya statistiknya saja). Averagenya adalah 0.48472 dimana angka ini mendekati ti yaitu (1/lamda) atau 0.5
| IAT | Frekuensi kemunculan |
| 0.1 | 165 |
| 0.2 | 173 |
| 0.3 | 129 |
| 0.4 | 99 |
| 0.5 | 88 |
| 0.6 | 68 |
| 0.7 | 46 |
| 0.8 | 50 |
| 0.9 | 31 |
| 1 | 24 |
| 1.1 | 18 |
| 1.2 | 26 |
| 1.3 | 15 |
| 1.4 | 11 |
| 1.5 | 8 |
| 1.6 | 5 |
| 1.7 | 10 |
| 1.8 | 4 |
| 1.9 | 5 |
| 2 | 3 |
| 2.1 | 6 |
| 2.2 | 1 |
| 2.3 | 5 |
| 2.4 | 2 |
| 2.5 | 2 |
| 2.6 | 2 |
| 2.7 | 1 |
| 2.8 | 0 |
| 2.9 | 1 |
| 3 | 0 |
| 4 | 2 |
Table 1. IAT dan Frekuensi Kemunculannya (berdistribusi eksponensial negatif)
Figure 3. Grafik Frekuensi kemunculan vs IAT
Dengan cara yang sama, dibuatkan angka-angka berdistribusi eskponensial negatif untuk panjang paket (karena loss system, maka panjang paket ini bisa menggambarkan sebaran untuk waktu layanan oleh server). Berikut diberikan histogramnya (menggunakan Toolpack Data Analysis Excel 2007)
Figure 4. Grafik Frekuensi kemunculan vs Panjang Paket
| Bin | Frequency | Cumulative % | Bin | Frequency | Cumulative % |
| 0.000456 | 1 | 0.10% | 0.118806 | 322 | 32.20% |
| 0.118806 | 322 | 32.30% | 0.237156 | 202 | 52.40% |
| 0.237156 | 202 | 52.50% | 0.355506 | 135 | 65.90% |
| 0.355506 | 135 | 66.00% | 0.473856 | 88 | 74.70% |
| 0.473856 | 88 | 74.80% | 0.592206 | 77 | 82.40% |
| 0.592206 | 77 | 82.50% | 0.710556 | 48 | 87.20% |
| 0.710556 | 48 | 87.30% | 0.828906 | 37 | 90.90% |
| 0.828906 | 37 | 91.00% | 0.947255 | 25 | 93.40% |
| 0.947255 | 25 | 93.50% | 1.065605 | 21 | 95.50% |
| 1.065605 | 21 | 95.60% | 1.183955 | 14 | 96.90% |
| 1.183955 | 14 | 97.00% | 1.420655 | 9 | 97.80% |
| 1.302305 | 3 | 97.30% | 1.539005 | 6 | 98.40% |
| 1.420655 | 9 | 98.20% | 1.657355 | 4 | 98.80% |
| 1.539005 | 6 | 98.80% | 1.302305 | 3 | 99.10% |
| 1.657355 | 4 | 99.20% | 1.775705 | 2 | 99.30% |
| 1.775705 | 2 | 99.40% | 2.012405 | 2 | 99.50% |
| 1.894055 | 1 | 99.50% | 0.000456 | 1 | 99.60% |
| 2.012405 | 2 | 99.70% | 1.894055 | 1 | 99.70% |
| 2.130755 | 0 | 99.70% | 2.604154 | 1 | 99.80% |
| 2.249105 | 0 | 99.70% | 2.722504 | 1 | 99.90% |
| 2.367455 | 0 | 99.70% | More | 1 | 100.00% |
| 2.485804 | 0 | 99.70% | 2.130755 | 0 | 100.00% |
| 2.604154 | 1 | 99.80% | 2.249105 | 0 | 100.00% |
| 2.722504 | 1 | 99.90% | 2.367455 | 0 | 100.00% |
| 2.840854 | 0 | 99.90% | 2.485804 | 0 | 100.00% |
| 2.959204 | 0 | 99.90% | 2.840854 | 0 | 100.00% |
| 3.077554 | 0 | 99.90% | 2.959204 | 0 | 100.00% |
| 3.195904 | 0 | 99.90% | 3.077554 | 0 | 100.00% |
| 3.314254 | 0 | 99.90% | 3.195904 | 0 | 100.00% |
| 3.432604 | 0 | 99.90% | 3.314254 | 0 | 100.00% |
| 3.550954 | 0 | 99.90% | 3.432604 | 0 | 100.00% |
| More | 1 | 100.00% | 3.550954 | 0 | 100.00% |
Table 2. Histogram Distribusi Panjang Paket
Proses Simulasi untuk Soal “a”
Dalam file Simulasi.xlms ini dtampilkan kolom-kolom berikut :
· Kolom A untuk menampilkan nomor iterasi (1 sampai 1000)
· Kolom B menampilkan Inter Arrival Time, yang telah berdistribusi eksponensial negatif
· Kolom C adalah untuk Panjang Paket, yang telah berdistribusi eksponensial negatif
· Kolom D sampai M adalah menampilkan sisa waktu layanan pada saat paket datang.
· Kolom N menyatakan apakah suatu paket terlayani (dinyatakan sebagai angka “1”) atau tidak terlayani (loss) yang dinyatakan sebagai “0”.
· Kolom O, P dan Q adalah informasi statistik dan kolom memasukkan data jumlah server, lamda. Masing-masing variabel in dapat diganti-ganti dalam batasan tertentu dimana jumlah server tidak bisa lebih dari 10.
| Iterasi ke | inter-arrival time | panjang paket | server-1 | server-2 | server-3 |
| 1 | 1.0841 | 0.2981 | 0.2981 | 0.0000 | 0.0000 |
| 2 | 0.9929 | 0.1290 | 0.1290 | 0.0000 | 0.0000 |
| 3 | 0.8418 | 0.3671 | 0.3671 | 0.0000 | 0.0000 |
| 4 | 0.1753 | 0.1119 | 0.1918 | 0.1119 | 0.0000 |
| 5 | 0.2417 | 0.5848 | 0.5848 | 0.0000 | 0.0000 |
| 6 | 0.3157 | 0.0227 | 0.2691 | 0.0227 | 0.0000 |
| 7 | 0.2527 | 1.1663 | 0.0164 | 1.1663 | 0.0000 |
| 8 | 0.6758 | 0.1661 | 0.1661 | 0.4904 | 0.0000 |
| 9 | 0.1305 | 0.1107 | 0.0356 | 0.3599 | 0.1107 |
| 10 | 0.4807 | 0.2806 | 0.2806 | 0.0000 | 0.0000 |
| 11 | 0.3797 | 0.0459 | 0.0459 | 0.0000 | 0.0000 |
| 12 | 0.0362 | 0.2250 | 0.0097 | 0.2250 | 0.0000 |
| 13 | 0.0999 | 0.0697 | 0.0697 | 0.1251 | 0.0000 |
| 14 | 0.0630 | 0.7999 | 0.0067 | 0.0622 | 0.7999 |
| 15 | 0.3314 | 0.6359 | 0.6359 | 0.0000 | 0.4686 |
Table 3. Salah satu sampel simulasi dengan jumlah server = 3
Figure 6. Visualisasi kedatangan paket untuk iterasi-1 sampai iterasi-5
Cara kerja proses identifikasi loss packet dalam simulasi ini adalah sbb (berdasarkan tabel sampel di atas)
· Pada iterasi pertama (dimulai dari detik ke nol misalnya), pada detik ke 1.0841 datang paket dengan panjang 0.2981. Maka paket ini langsung menduduki server-1, sehingga pada t=0 itu sisa waktu layanan server-1 adalah sama dengan panjang paket yaitu 0.2981 detik.
· Pada iterasi kedua, muncul paket kedua, dengan jarak inter arrival time antara paket pertama dengan kedua ini berjarak 0.9929 detik. Karena IAT nya lebih besar daripada sisa waktu layanan pada server-1 maka pada saat paket kedua ini datang server-1 sudah dalam keadaan “menganggur”, sehingga paket kedua inipun dilayani oleh server-1 ini.
· Pada iterasi ketiga juga sama dengan keadaan pada iterasi kedua karena Inter arrival time antara paket ketiga yang datang ini terhadap paket kedua adalah 0.8418 detik, yang lebih besar daripada panjang paket kedua yaitu 0.1290 detik.
· Pada iterasi keempat, inter arrival time antara paket keempat yang datang dibandingkan kedatangan paket ketiga adalah 0.1753 detik. Saat paket keempat ini datang, server-1 masih membutuhkan waktu (0.3671 – 0.1753) detik yaitu 0.1918 detik untuk memproses paket ketiga. Jadi pada saat paket keempat ini datang server-1 masih dalam keadaan sibuk. Maka paket keempat ini masuk ke server-2. Jadi kini server-1 sudah tinggal memiliki sisa waktu layanan sepanjang 0.1918 detik yaitu dari panjang paket ketiga yang sedang dilayaninya (yaitu 0.3671 detik) dikurangi IAT paket keempat (yaitu 0.1753 detik).
· Pada kedatangan paket kelima, server-1 dan server-2 sudah bebas semua karena sisa waktu layanan mereka lebih kecil daripada IAT antara paket keempat dengan paket kelima, sehingga paket kelima dilayani ke server-1, dan server-2 dalam kondisi bebas.
· Demikian seterusnya.
Maka didapatkan hasil simulasi sbb :
| Hasil Simulasi Sistem Tunggal 900 MHz | ||
|
| ||
| Jumlah Server (N) | Blocking Hasil Simulasi (%) | Blocking Erlang Hasil Hitung (%) |
| 1 | 39.30 | 40.000 |
| 2 | 10.10 | 11.765 |
| 3 | 2.50 | 2.548 |
| 4 | 0.60 | 0.423 |
| 5 | 0.10 | 0.056 |
| 6 | 0.00 | 0.006 |
| 7 | 0.00 | 0.001 |
| 8 | 0.00 | 0.000 |
| 9 | 0.00 | 0.000 |
| 10 | 0.00 | 0.000 |
Table 4. Hasil simulasi dan Hasil perhitungan menggunakan ErlangB – soal a
Jika dibuatkan line chart-nya adalah sbb :
Figure 7. Chart Blocking vs Jumlah Server Hasil Simulasi dan Hasil Perhitungan ErlangB untuk Soal a.
Jika dibandingkan dengan hasil hitung menggunakan rumus ErlangB, maka hasilnya tidak beda jauh. Terlepas dari persyaratan pada soal, Simulasi juga telah dicobakan untuk lamda dan my lainnya, dan hasilnya mendekati hasil hitung dengan menggunakan fungsi ErlangB.
Proses Simulasi untuk “Soal b”
Dalam file Simulasi untuk soal b, sebenarnya sama saja dengan proses simulasi pada soal a, hanya saja saat ini jumlah servernya berpasangan yaitu (N1,N2) à (1,1), (2,2),…(10,10)
Ini dapat disimulasikan dengan memanfaatkan file Simulasi.xlms, dengan menggunakan N=2 untuk (1,1), N=4 untuk (2,2), N=6 untuk (3,3) dan seterusnya.
| Hasil Simulasi Sistem 900 MHz dan 1800 MHz | ||
| Jumlah Server (N1+N2)) | Blocking Hasil Simulasi (%) | Blocking Erlang Hasil Hitung (%) |
| (1,1) | 10.60 | 11.765 |
| (2,2) | 0.40 | 0.423 |
| (3,3) | 0.00 | 0.006 |
| (4,4) | 0.00 | 0.000 |
| (5,5) | 0.00 | 0.000 |
Table 5. Hasil simulasi dan Hasil perhitungan menggunakan ErlangB – soal b
Untuk pasangan server (6,6) sampai (10,10) tidak disumulasikan disini karena kemungkinan besar Probabilitas blockingnya Nol.
Figure 8. Chart Blocking vs Jumlah Server Hasil Simulasi dan Hasil Perhitungan ErlangB untuk Soal b.
Kesimpulan
- Hasil simulasi sistem Loss System dengan inter arrival time dan lama layanan berdistribusi eksponensial negatif (pada soal a dan b) menunjukkan kesesuaian dengan ErlangB.
- Untuk tawaran trafik sebesar 2/3 (lamda = 2, myu = 3), dengan jumlah server enam, sudah memberikan sistem bebas dari blocking.





